Un numero perfetto è un numero intero positivo che è uguale alla somma dei suoi divisori propri (escluso il numero stesso).
Definizione: Un numero n è detto perfetto se la somma dei suoi divisori positivi, escluso n stesso, è uguale a n. In altre parole, σ(n) = 2n, dove σ(n) è la funzione sigma che rappresenta la somma di tutti i divisori positivi di n.
Esempi:
- 6 è un numero perfetto perché i suoi divisori propri sono 1, 2 e 3, e 1 + 2 + 3 = 6.
- 28 è un numero perfetto perché i suoi divisori propri sono 1, 2, 4, 7 e 14, e 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
- 496 è un numero perfetto.
- 8128 è un numero perfetto.
Storia: I numeri perfetti erano noti fin dall'antichità. Euclide ne ha parlato nei suoi "Elementi".
Proprietà:
- Numeri perfetti pari: Euclide dimostrò che se 2<sup>p</sup> - 1 è un numero%20primo%20di%20Mersenne, allora 2<sup>p-1</sup>(2<sup>p</sup> - 1) è un numero perfetto pari. Eulero dimostrò in seguito che tutti i numeri perfetti pari sono di questa forma (Teorema di Euclide-Eulero).
- Numeri perfetti dispari: Non è noto se esistano numeri perfetti dispari. La ricerca di tali numeri è ancora un problema aperto nella teoria%20dei%20numeri. Se un numero perfetto dispari esiste, deve essere molto grande e soddisfare diverse condizioni restrittive.
Formula generale per i numeri perfetti pari: Come detto prima, la formula per generare i numeri perfetti pari è 2<sup>p-1</sup>(2<sup>p</sup> - 1), dove (2<sup>p</sup> - 1) deve essere un numero primo (un numero%20primo%20di%20Mersenne).